Elementy trygonometrii ...

Elementy trygonometrii sferycznej(2), Karto1

[ Pobierz całość w formacie PDF ]
Elementy trygonometrii sferycznej

 

1.      Sfera – zbiór wszystkich punktów przestrzeni, których odległość od pewnego wybranego punktu jest stała. Punkt ten jest środkiem sfery zaś stała odległość promieniem sfery.

 

2.      Koło – przekrój sfery płaszczyzną

a)      wielkie – przekrój płaszczyzną przechodzącą przez środek sfery (np. równik, południki),

b)     małe – każdy przekrój płaszczyzną nie przechodzącą przez środek sfery

 

 

3.      Odległość sferyczna – wycinek łuku koła wielkiego ograniczony dwoma punktami.

4.      Biegun sfery – punkt na sferze odległy od danego koła wielkiego o wartość ¼ obwodu koła wielkiego.

5.      Trójkąt sferyczny – to część powierzchni sfery ograniczona łukami trzech kół wielkich

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.      Kąt trójkąta sferycznego w punkcie A – kąt między:

§         między stycznymi do obu łuków kół wielkich w punkcie A,

§         dwuścienny między płaszczyznami zawierającymi oba łuki.

7.      Bok trójkąta sferycznego – wycinek łuku koła wielkiego ograniczony wierzchołkami trójkąta. Miarą boku jest:

§         kąt środkowy oparty na tym boku (miara kątowa),

§         długość wycinka łuku (miara liniowa).

 

                                                                                                  Własności trójkąta sferycznego:

1.      Naprzeciw większego (mniejszego) kąta znajduje się większy (mniejszy) bok.

2.      Naprzeciw równych katów (boków) leżą równe boki (kąty).

3.     

 

8.      Rozwiązanie trójkąta sferycznego – obliczenie brakujących elementów: boków lub kątów:

 

§         Rozwiązanie ścisłe – za pomocą podstawowych wzorów trygonometrii sferycznej:

 

a) wzór sinusowy:              

 

c)      wzór cosinusowy:

dla boków:             

                                                                     

                                          dla kątów:             

 

 

                                                                     

                                                                     

 

d)     wzór sinusowo-cosinusowy:

dla boków:

                                                                     

                                                                      ...itd.

                                                        dla kątów:

                                                                     

                                                                     

                                                                      ... itd.

 

§         Rozwiązanie przybliżone – przekształcenie trójkąta sferycznego do postaci trójkąta płaskiego, następnie rozwiązanie jego (metoda Legendre’a, addidamentów)

 

9.      Trójkąt prostokątny (prostoboczny) – trójkąt którego co najmniej jeden kąt (bok) jest równy p/2.

10.  Trójkąt biegunowy do danego trójkąta sferycznego – trójkąt, którego boki odległe są od wierzchołków trójkąta sferycznego o wartość p/2.

 

Własności trójkąta biegunowego i sferycznego:

1.                   

lTrójkąt biegunowy jest także trójkątem sferycznym.l

3.      Wzory cosinusowe i sinusowo-cosinusowe dla kątów wyprowadza się w oparciu o powyższe związki.

 

11.  Nadmiar sferyczny (eksces)

 

Suma  kątów w trójkącie sferycznym jest większa od wartości p o wartość nadmiaru sferycznego e:             

Nadmiar sferyczny oblicza się z wzoru:                                         

gdzie:              P(DABC) – pole trójkąta ABC,

                            R – promień sfery

 

Ze względu na niewielką wartość nadmiaru sferycznego (dla praktycznie rozwiązywanych trójkątów) rzędu kilku-, kilkudziesięciu sekund, do obliczenia można stosować przybliżony wzór na pole trójkąta sferycznego (jak dla trójkąta płaskiego):

 

              lub              

 

wzór przybliżony pozwala obliczyć nadmiar e z dokładnością:

 

dla a = b = c = 30 km  i  R = 6370 km                              ®              e = 2² me = 0.0001²

dla a = b = c = 120 km  i  R = 6370 km                              ®              e = 32² me = 0.03²

 

 

Do ścisłego obliczenia nadmiaru sferycznego wykorzystuje się inne wzory:

 

,              gdzie:

 

ZADANIA

 

1.      W trójkącie sferycznym dane są boki a,b,c. Rozwiąż ten trójkąt.

§         wz.cosinusowy dla boków  ® A,

§         wz. sinusowy  ® B,C

 

2.      W trójkącie sferycznym dane są kąty A,B,C. Rozwiąż ten trójkąt.

§         wz.cosinusowy dla kątów  ® a,

§         wz. sinusowy  ® b,c

 

3.      W trójkącie sferycznym dane są kąty A i B oraz odpowiadające im boki a i b. Rozwiąż ten trójkąt.

 

4.      W pewnym równobocznym trójkącie sferycznym o boku równym n km pomierzone zostały kąty A,B,C z błędem ±0.1². Czy w wyrównaniu kątów tego trójkąta należy uwzględniać nadmiar sferyczny ?

 

bok [km]

e[²]

2

0.0

5

0.1

10

0.2

15

0.5

20

0.9

30

2.0

60

7.9

120

31.7

 

5.      Jaką odległość pokona samolot lecący na wysokości H=5 km ponad powierzchnia Ziemi (kuli o promieniu R=6371 km) z Paryża do Warszawy. Przyjąć współrzędne

jW = 52°15¢ lW=21°00¢ - dla Warszawy,

jP = 52°15¢ lP=21°00¢ - dla Paryża,  promień kuli ziemskiej R=6371 km.

Dl

90°-jP

90°-jW

                                                                                                                             

S

W

  

                                         

P

 

 

...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

zanotowane.pl

doc.pisz.pl

pdf.pisz.pl

dietanamase.keep.pl