Elementy rachunku prawdop, Statystyka

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Elementy rachunku prawdopodobieństwa Przedmiotem badań rachunku prawdopodobieństwa są zdarzenia losowe, tzn. takie zdarzenia, których zajścia nie można przewidzieć. Zdarzenia losowe obserwujemy jako wyniki eksperymentu losowego, którym może być np. opisywany w szkole rzut kostką do gry lub monetą , losowy wybór elementu z określonego zbioru, lub obserwacja zjawisk o charakterze losowym w otaczającym nas świecie . Zdarzenia losowe oznaczać będziemy dużymi literami A, B, C....

Przykład 1: Spośród studentów obecnych na sali losujemy jedną osobę.

Zdarzenie A - wylosowana osoba jest kobietą,

Zdarzenie B - wylosowana osoba jest studentem grupy I,

Zdarzenie C - wylosowano panią X,

Zdarzenie D - wylosowano pana Y.

Zdarzenia A i B realizują się przy wyborze wielu osób, natomiast zdarzenia C i D realizują się tylko przy wyborze konkretnych osób. Są one przykładami najprostszych wyników tego doświadczenia, takie zdarzenia nazywamy zdarzeniami elementarnymi. W rachunku prawdopodobieństwa nie definiuje się pojęcia zdarzenia elementarnego, gdyż jest to dla tego działu matematyki pojęcie pierwotne (tak, jak punkt w geometrii).

Dla danego doświadczenia budujemy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych jako zbiór najprostszych jego wyników. Ten zbiór oznaczamy zazwyczaj literą (omega) i nazywamy przestrzenią zdarzeń elementarnych. Zdarzenia elementarne oznaczamy małymi literami . Zdarzenia losowe są podzbiorami przestrzeni , a zdarzenia elementarne, z których się składają nazywamy zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi tym zdarzeniom, np. w przykładzie 1 dla zdarzenia A zdarzeniami elementarnymi sprzyjającymi są wybory poszczególnych pań .

Jeżeli A = (tzn. zdarzeniu A nie sprzyja żadne zdarzenie elementarne – zbiór zdarzeń sprzyjających jest pusty) to A nazywamy zdarzeniem niemożliwym, jeżeli A = (tzn. zdarzeniu A sprzyjają wszystkie zdarzenia elementarne), to A nazywamy zdarzeniem pewnym.

Przestrzeń zdarzeń elementarnych może być zbiorem skończonym lub nieskończonym. W tym drugim przypadku nie wszystkie jej podzbiory muszą być zdarzeniami losowymi. Dlatego też określa się dla danej przestrzeni zdarzeń elementarnych zbiór F wszystkich zdarzeń losowych zbudowanych z elementów przestrzeni .

Na zdarzeniach losowych możemy wykonywać takie same działania, jak na zbiorach, tzn. możemy określić sumę zdarzeń: A B, iloczyn zdarzeń A B i różnicę zdarzeń A \ B.

O zdarzeniach A i B, których iloczyn jest zdarzeniem niemożliwym mówimy, że wykluczają się (są rozłączane). Dla zdarzenia A określamy zdarzenie do niego przeciwne

Dla zdarzeń losowych chcemy badać szansę ich zajścia. Miarą tej szansy jest prawdopodobieństwo.

Prawdopodobieństwem nazywamy funkcję P, która zdarzeniom losowym zawartym w przyporządkowuje liczby rzeczywiste z przedziału [0; 1] (tzn. P: ) i spełnia warunki:

1. P() = 1

2. Jeżeli zdarzenia wykluczają się parami , tzn. dla to

W ten sposób otrzymujemy przestrzeń prawdopodobieństwa (przestrzeń probabilistyczną) jako trójkę (, F, P) gdzie jest przestrzenią zdarzeń elementarnych, F – zbiorem zdarzeń losowych zbudowanych z elementów przestrzeni , P jest prawdopodobieństwem określonym na F.

Łatwo zauważyć, że prawdopodobieństwo zdarzenia niemożliwego

oraz prawdopodobieństwo zdarzenia przeciwnego do A .

Powyższa definicja nie podaje sposobu obliczania prawdopodobieństw, określa tylko warunki, jakie powinna spełniać szczegółowa definicja prawdopodobieństwa. Sposoby obliczania prawdopodobieństw dla określonego typu przestrzeni zdarzeń elementarnych podają np. klasyczna definicja prawdopodobieństwa, geometryczna definicja prawdopodobieństwa.

Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.

Jeżeli jest zbiorem skończonym i wszystkie zdarzenia elementarne są jednakowo możliwe, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia losowego A zawartego w określa wzór:

w którym oznacza liczbę zdarzeń elementarnych sprzyjających A,

oznacza liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych.

Przykład 2. W pewnej firmie pracuje 15 osób: dyrekcja – 2 osoby, sekretariat –2 osoby, informatycy – 3 osoby, pracownicy techniczni – 5 osób, marketing – 1 osoba, pracownicy pomocniczy – 2 osoby. Wybieramy losowo spośród pracowników tej firmy jedną osobę. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrany zostanie informatyk (zdarzenie A)?

Rozwiązanie. Zdarzeniami elementarnymi będą tu wybory poszczególnych osób. Przestrzeń zdarzeń elementarnych składa się więc z 15 elementów. Wybieramy w sposób losowy, więc wybór każdej osoby jest jednakowo możliwy. Zdarzenia elementarne sprzyjające zdarzeniu A to wybór jednego z informatyków, takich wyborów jest tyle, ilu informatyków pracuje w firmie, tzn. trzy. Zgodnie z klasyczną definicją prawdopodobieństwa:

W rachunku prawdopodobieństwa istotną rolę odgrywa pojęcie niezależności zdarzeń.

Zdarzenia A i B z tej samej przestrzeni prawdopodobieństwa nazywamy niezależnymi, gdy spełniony jest warunek: .

Ważnym pojęciem rachunku prawdopodobieństwa jest zmienna losowa.

Zmienną losową rzeczywistą (jednowymiarową) nazywamy funkcję X, która zdarzeniom elementarnym przyporządkowuje liczby rzeczywiste (X: R) i spełnia warunek:
dla dowolnej liczby rzeczywistej t zbiór zdarzeń elementarnych jest zdarzeniem losowym.

W przykładzie 1 możemy określić np. następujące zmienne losowe:

X 1 : każdej wylosowanej osobie przyporządkujemy jej wiek;

X 2 : : każdej wylosowanej osobie przyporządkujemy wysokość jej dochodów.

Uwaga:

Jeśli zdarzeniom elementarnym funkcja X przyporządkuje pary liczb rzeczywistych, to otrzymujemy zmienną losową dwuwymiarową (np. wylosowanej osobie przyporządkujemy jej wzrost i wagę).

Dystrybuantą zmiennej losowej rzeczywistej nazywamy funkcję określoną na zbiorze liczb rzeczywistych następującym wzorem:

(Wartość dystrybuanty zmiennej losowej X w dowolnym punkcie t jest równa prawdopodobieństwu, że zmienna losowa X przyjmie wartość mniejszą niż t.)

Dystrybuanta jest funkcją niemalejącą i dla każdej liczby rzeczywistej t spełnia warunek: .

Spośród wszystkich zmiennych losowych wyodrębniamy dwie ważne klasy:

Zmienne losowe skokowe (dyskretne) to takie zmienne, które przyjmują skończoną lub przeliczalną liczbę wartości. Jeżeli oznaczymy te wartości jako x1, x 2, x 3, ...i dla każdej wartości podamy prawdopodobieństwo jej przyjęcia przez zmienną losową, to otrzymamy ciąg par liczb (x k, p k), który określa rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej skokowej.

Prawdopodobieństwa p k są liczbami nieujemnymi spełniającymi warunek:

gdy zmienna przyjmuje skończoną liczbę wartości, lub warunek: dla zmiennej przyjmującej przeliczalną liczbę wartości.

Wartość dystrybuanty zmiennej losowej skokowej w dowolnym punkcie t określa wzór:.

Przykład 3. Zarobki pracowników pewnej firmy przedstawiają się następująco:

2500 zł - 2 osoby,

1800 zł - 4 osoby,

1550 zł - 3 osoby,

1100 zł - 1 osoba.

Wybieramy w sposób losowy jednego z pracowników tej firmy. Zmienna losowa przyjmuje wartości równe zarobkowi wylosowanego pracownika Wyznaczyć jej rozkład.

Jest to zmienna losowa skokowa, jej wartości i odpowiadające tym wartościom prawdopodobieństwa podamy w tabeli. Prawdopodobieństwa obliczymy jako iloraz liczby pracowników mających dane wynagrodzenie przez liczbę wszystkich pracowników ,

( tzn. ). Rolę prawdopodobieństw pełnią tu wskaźniki struktury.

Wartości zmiennej losowej

x k

1100

1550

1800

2500

Prawdopodobieństwa

P k

0,1

0,3

0,4

0,2

Drugą ważną klasę zmiennych losowych stanowią zmienne losowe typu ciągłego.

Zmienna losowa ciągła to zmienna losowa przyjmująca wartości z pewnych przedziałów, dla której istnieje funkcja y =f (x) o wartościach nieujemnych określona na zbiorze liczb rzeczywistych, zwana gęstością zmiennej losowej taka, że dystrybuanta tej zmiennej losowej dla każdej liczby rzeczywistej t określona jest wzorem .

(Oznacza to, że wartość dystrybuanty w punkcie t jest równa polu ograniczonemu przez wykres funkcji gęstości y = f (x), oś Ox i prostą x = t .

Funkcja gęstości spełnia warunki:

Drugi warunek oznacza, że pole ograniczone wykresem gęstości i osią Ox jest równe 1.)

Syntetyczny obraz rozkładu zmiennej losowej dają liczby, które nazywamy parametrami rozkładu zmiennej losowej. Wśród nich najważniejszą rolę odgrywają: wartość oczekiwana, wariancja i odchylenie standardowe.

Wartość oczekiwana (wartość średnia, wartość przeciętna) informuje nas o przeciętnym poziomie wartości zmiennej losowej.

Wariancja mierzy rozrzut wartości zmiennej losowej wokół jej wartości przeciętnej.

Parametry te określają następujące wzory:

Parametr

dla zmiennej losowej X skokowej przyjmującej skończoną liczbę wartości

dla zmiennej losowej X typu ciągłego

Wartość oczekiwana

Wariancja

...

[ Pobierz całość w formacie PDF ]

Elementy rachunku prawdop

Elementy rachunku prawdop, Statystyka

Tematy